Aljabar Boolean Part 1 : Teorema dasar, De Morgan, dan penyederhanaan bentuk.

Pada minggu ini saya akan membahas materi yang dibahas pada pertemuan kelas matematika diskrit minggu kemarin, yaitu aljabar boolean.

“Aljabar Boolean dapat didefinisikan secara abstrak dalam beberapa cara. Cara
yang paling umum adalah dengan menspesifikasikan unsur – unsur pembentuknya
dan operasi – operasi yang menyertainya” – Lipschutz, Seymour & Marc Lars Lipson,  ‘2000 Solved Problems in Discrete Mathematics’, McGraw-Hill, 1992.

Biasanya, pada aljabar boolean nilai dari variabel adalah true dan false

Ada tiga fungsi yang dipakai dalam aljabar boolean, yaitu AND, OR, dan NOT. Kalau misalnya pernah bermain – main dengan bahasa pemrograman pasti sudah tidak asing dengan fungsi yang disebut tadi.
Misalnya ada contoh :

Pada aljabar boolean, fungsi “AND” berubah menjadi operasi kali yang biasa disimbolkan dengan ” . “.
Berarti, sama seperti pada bahasa pemrograman, akan bernilai benar jika kedua variabel bernilai  benar juga

1. 0 . 0 = 0
2. 0 . 1 = 0
3. 1 . 0 = 0
4. 1 . 1 = 1

fungsi “OR” berubah menjadi operasi kali yang biasa disimbolkan dengan ” + “.
Begitu juga dengan “OR”, akan bernilai benar jika salah satu variabel bernilai benar.

1. 0 + 0 = 0
2. 0 + 1 = 1
3. 1 + 0 = 1
4. 1 + 1 = 1

fungsi “NOT” dinotasikan dengan lambang aksen, ” ‘ “.
Karena diturunkan dari “NOT”, maka nilai dari variabel tersebut akan menjadi kebalikan dari nilai variabel itu sendiri.

1. 0′ = 1
2. 1′ = 0
3. a’ = a
4. (a’)’ = a

Postulat Aljabar Boolean :

  1. Hukum Komutatif
    a + b = b + a
    a . b = b . a
  2. Hukum Distributif
    a( b + c) = ab + ac
    a + bc = ( a + b) . ( a + c)
  3. Hukum Asosiatif
    ( a + b ) + c = a + ( b + c)
    (a . b) c =  a ( b. c)
  4. Hukum Redundansi
    a + ab = a
    a . (a + b) = a
  5. Hukum Negasi
    a’ = a’
    (a’)’ = a
  6. Hukum Identitas
    a + a = a
    a + 0 = a
    a . a = a
    a · 1 = a

Misal :

a’ + a = 1 -> berarti a’ atau a, berarti nilanya benar / “1”
a’ . a = 0  – > berarti a’ dan a, karena ada satu yang bernotasi ” ‘ ” yang artinya not, berarti salah satu dari variabel benilai false / 0 maka hasil dari operasi adalah 0 / false.

Teorema De Morgan :
( a + b)’ = a’ + b’

Dengan berbekal teorema De Morgan dan postulat aljabar boolean, kita dapat menyederhanakan ekspresi, persamaan logika, dan persamaan boolean. Dari sinilah dasar untuk menyederhanakan rangkaian logika didapat.

Contoh  soal :

f (x,y) = x’y’ + xy’ + xy
= y’ (x’ + x) + xy
= y’  + xy

Sederhanakan A . (A . B + C)

a . (a . b + c) = a . a . b + a . c (Hukum asosiatif)
= A . B + A . C(Hukum Redundansi)
= A . (B + C) (Hukum Asosiatif)

Kira – kira cukup sampai disini dulu untuk postingan bagian pertama dari kelas Aljabar Boolean. Pada post minggu depan akan dibahas mengenai membuktikan teorema dengan tabel kebenaran, cara menggambar rangkaian logika, beserta contoh soal yang lebih banyak mengenai kedua bagian bahasan.

Sampai jumpa di postingan matematika selanjutnya!

Advertisements