Aljabar Boolean Part 1 : Teorema dasar, De Morgan, dan penyederhanaan bentuk.

Pada minggu ini saya akan membahas materi yang dibahas pada pertemuan kelas matematika diskrit minggu kemarin, yaitu aljabar boolean.

“Aljabar Boolean dapat didefinisikan secara abstrak dalam beberapa cara. Cara
yang paling umum adalah dengan menspesifikasikan unsur – unsur pembentuknya
dan operasi – operasi yang menyertainya” – Lipschutz, Seymour & Marc Lars Lipson,  ‘2000 Solved Problems in Discrete Mathematics’, McGraw-Hill, 1992.

Biasanya, pada aljabar boolean nilai dari variabel adalah true dan false

Ada tiga fungsi yang dipakai dalam aljabar boolean, yaitu AND, OR, dan NOT. Kalau misalnya pernah bermain – main dengan bahasa pemrograman pasti sudah tidak asing dengan fungsi yang disebut tadi.
Misalnya ada contoh :

Pada aljabar boolean, fungsi “AND” berubah menjadi operasi kali yang biasa disimbolkan dengan ” . “.
Berarti, sama seperti pada bahasa pemrograman, akan bernilai benar jika kedua variabel bernilai  benar juga

1. 0 . 0 = 0
2. 0 . 1 = 0
3. 1 . 0 = 0
4. 1 . 1 = 1

fungsi “OR” berubah menjadi operasi kali yang biasa disimbolkan dengan ” + “.
Begitu juga dengan “OR”, akan bernilai benar jika salah satu variabel bernilai benar.

1. 0 + 0 = 0
2. 0 + 1 = 1
3. 1 + 0 = 1
4. 1 + 1 = 1

fungsi “NOT” dinotasikan dengan lambang aksen, ” ‘ “.
Karena diturunkan dari “NOT”, maka nilai dari variabel tersebut akan menjadi kebalikan dari nilai variabel itu sendiri.

1. 0′ = 1
2. 1′ = 0
3. a’ = a
4. (a’)’ = a

Postulat Aljabar Boolean :

  1. Hukum Komutatif
    a + b = b + a
    a . b = b . a
  2. Hukum Distributif
    a( b + c) = ab + ac
    a + bc = ( a + b) . ( a + c)
  3. Hukum Asosiatif
    ( a + b ) + c = a + ( b + c)
    (a . b) c =  a ( b. c)
  4. Hukum Redundansi
    a + ab = a
    a . (a + b) = a
  5. Hukum Negasi
    a’ = a’
    (a’)’ = a
  6. Hukum Identitas
    a + a = a
    a + 0 = a
    a . a = a
    a · 1 = a

Misal :

a’ + a = 1 -> berarti a’ atau a, berarti nilanya benar / “1”
a’ . a = 0  – > berarti a’ dan a, karena ada satu yang bernotasi ” ‘ ” yang artinya not, berarti salah satu dari variabel benilai false / 0 maka hasil dari operasi adalah 0 / false.

Teorema De Morgan :
( a + b)’ = a’ + b’

Dengan berbekal teorema De Morgan dan postulat aljabar boolean, kita dapat menyederhanakan ekspresi, persamaan logika, dan persamaan boolean. Dari sinilah dasar untuk menyederhanakan rangkaian logika didapat.

Contoh  soal :

f (x,y) = x’y’ + xy’ + xy
= y’ (x’ + x) + xy
= y’  + xy

Sederhanakan A . (A . B + C)

a . (a . b + c) = a . a . b + a . c (Hukum asosiatif)
= A . B + A . C(Hukum Redundansi)
= A . (B + C) (Hukum Asosiatif)

Kira – kira cukup sampai disini dulu untuk postingan bagian pertama dari kelas Aljabar Boolean. Pada post minggu depan akan dibahas mengenai membuktikan teorema dengan tabel kebenaran, cara menggambar rangkaian logika, beserta contoh soal yang lebih banyak mengenai kedua bagian bahasan.

Sampai jumpa di postingan matematika selanjutnya!

Advertisements

Kembali menulis.

Halo, sudah lama ya saya tidak mengupdate blog ini. Mohon maaf sebelumnya. Entah kenapa rasanya saya merasa harus meminta maaf. Padahal blog ini tidak ada yang baca.

Alasan saya untuk tidak menulis di blog ini untuk waktu yang cukup lama tetap seperti alasan saya sebelumnya :

Saya selalu merasa kesulitan untuk menulis ketika sudah dihadapkan dengan new post page di blog saya. Atau bahkan di perangkat lunak pengolah kata lainnya.

Padahal akhir – akhir ini banyak sekali hal yang terlintas di pikiran saya ketika sedang melakukan kegiatan sehari – hari yang remeh itu. Pada akhirnya pikiran yang melintas itu cuman berbuah menjadi kicauan di akun twitter saya, jadi ya cuman lewat sekilas gitu. Memang tidak akan hilang, tapi saya rasa pikiran yang melintas itu bisa jadi sebuah tulisan yang lumayan panjang. Sayang sekali rasanya jika mereka hanya lewat sekilas begitu saja kemudian tertimbun dengan kicauan tidak bermakna saya tentang hobi – hobi saya.

Saya sedang berencana untuk kembali menulis dengan rutin di blog ini. Bisa jadi sebulan, seminggu, atau bahkan setiap hari. Meskipun tidak sulit untuk berkomitmen, tapi nampaknya agak sulit juga untuk menulis tiap hari ya. Sepertinya saya akan mencoba untuk menulis rutin setidaknya sekali dalam seminggu. Belum ada target panjang untuk tulisannya, namun saya akan berusaha untuk menulis sebanyak yang saya mampu per-minggu.

Untuk topik tulisan sendiri, mungkin akan berisi pikiran – pikiran yang lewat itu tadi. Bisa juga mengenai minat saya. Saya bahkan berpikir untuk menuliskan materi dari kelas matematika diskrit saya.

Loh kok soal matematika diskrit? Emangnya sampiyan guru matematika? Anak prodi matematika? Kok berani – beraninya nulis soal begituan?

Sungguh tidak ada maksud untuk menggurui atau apapun. Saya hanya berusaha untuk berdamai dengan subjek itu. Karena sejak menduduki bangku sekolah sampai sekarang kuliah, saya selalu menghadapi kesulitan ketika berusaha untuk memahami matematika. Kesulitan itu berubah menjadi ketakutan, karena merasa takut, saya yang masih belum bisa berpikir dengan dewasa itu memilih jalan keluar yang paling mudah dan paling menyesatkan : lari dari masalah.

Ya, saya lari. Kabur. Takut untuk menghadapi angka – angka itu. Pilihan itulah yang membuat saya pada akhirnya menjadi tertinggal di bidang itu dibanding dengan teman sekelas saya yang lain dulu. Itu soal dulu, tapi lain dengan sekarang. Saya sudah bisa berpikir dengan lebih baik dari dua atau tiga tahun lalu. Karena suka atau tidak, saya akan selalu bertemu dengan mereka dimanapun saya berada.

Maaf jadi curhat. Mungkin nanti akan ada postingan sendiri untuk membahas tentang hubungan saya dengan mata pelajaran yang satu itu.

Orang – orang bilang salah satu cara yang ampuh untuk belajar adalah dengan mengajar. Karena dengan mengajar, kita akan dibuat untuk belajar lebih baik lagi. Bagaimana bisa mengajar dengan baik jika tidak memahami materi dengan baik juga?

Saya tidak bermaksud untuk mengajarkan soal matematika a-la situs atau blog pembelajaran. Hanya menyampaikan kembali apa yang saya pelajari di kelas. Tanpa mengurangi atau menambahnya. Karena 75% materi yang saya peroleh hilang dalam jangka waktu 12 jam setelah terima di kelas. Hal itu tentu saja akan merepotkan nanti ketika sedang mempersiapkan ujian semester nanti. Ada baiknya saya mengambil tindakan pencegahan.

Singkat kata : Saya akan mencoba untuk menulis dengan rutin disini. Mohon dukungannya.